2016-08-11

OpenGL 藍寶入門教學 4: 數學

開始前介紹

這一章節主要是介紹一些數學的基礎，如果發現哪個部分不熟的話，最好能親自磨練一下，因為以後常常需要的時候，如果不懂箇中原理，那麼在偵錯或是實作上，會遇到一些麻煩。當然領悟過後能寫起來是最推薦的方式，以後忘了的時候瞟一眼就行了。初學者如果看不懂本篇的話，可以暫且跳過無妨，當有用到再回頭看，因為現在的文章是搭配官方藍寶書的章節推進，而藍寶書比較適合中階以上閱讀者，所以本篇對初學者來說應該很吃力。
接下來會介紹的內容基本上有:

向量
反射與折射
矩陣
相關座標系統
攝影機
透視投影與正交投影
直線與曲線
GLM

向量

這邊應該大家都有學過，在此只是把我自己領略的概念描述出來，如果不懂的話，請參閱其他數學專業網站。

何謂向量

向量的定義是一個方向附帶著一個量的數值，而為什麼需要一個有數值的方向呢？因為想將向量運用到各種不同的地方，這樣就可以不需要同樣的原點與終點來重現這樣的動作。我們假設一個二維的座標平面，上面有一個點 $p_1$ 還有一個點 $p_2$ ，用 $ p_2 - p_1 $ 所得到的就是從 $ p_1 $ 指向 $ p_2 $ 的向量，如果想不通就想成 $p_2$ 與原點 $ o $ 的關係是 $ p_2 - o $，也就是從原點指向 $ p_2 $ 的向量。

基本性質

向量的加減性質跳過。

長度

如果向量是 $ (1,2,3) $ 長度的定義是 $ \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} $，向量已經是兩點相減的結果，所以只要將各個分量平方後開根號就是長度。

單位向量

若向量是 $ (1,2,3) $ 則單位向量就是其向量除以長度，也就是 $ \left(\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right) $
這樣的好處是，可以得到往該方向一個單位長度需要多少向量。也就是說上方的各自平方後相加長度等於一。而單位向量的概念在OpenGL中稱之為Normalize。

內積

內積的定義是這樣的 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z $
直接看看不出它的意義是什麼，他還有另一個特性是 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \cos{\theta} $
在圖學中內積常常用來求的是角度，也就是說根據上方的另一個性質，將長度移到左方然後算出內積的值，就可以得到 $ value = \cos{\theta} $ 的情況，也就是可以知道角度是多少，這是內積常常運用在圖學中的部分。至於上方的兩定義由來就不探討。

外積

外積的定義是 $ \vec{V}_1 \times \vec{V}_2 = \vec{V}_3$
$$\begin{bmatrix} V_3.x \\ V_3.y \\ V_3.z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1.y \cdot V_2.z - V_1.z \cdot V_2.y \\ V_1.z \cdot V_2.x - V_1.x \cdot V_2.z \\ V_1.x \cdot V_2.y - V_1.y \cdot V_2.x \\ \end{bmatrix}$$
得到的 $ \vec{V}_3 $ 就是垂直於 $ \vec{V}_1 , \vec{V}_2 $的向量，依照弗萊明右手定則就可以知道該垂直向量應該往哪裡垂直，且別擔心，不管怎麼比都會在定則內的。在圖學中，會用到的就是外積算出來垂直於表面的特性，也就是Normal Vector，這個光影特效中時常使用的向量。

反射與折射

反射

反射有個特性，就是入射角等於反射角，然後依照圖片所示，我們要算出反射角的方法有兩種。一種是不用將入射角反轉，直接位移兩個垂直平面的分量。另一種是將入射角反轉，移動兩個水平分量，而這裡介紹的是移動兩個垂直分量的方法。
結果公式為:
$R_{reflect} = R_{in} - (2N \cdot R_{in} )N$
解釋 : 反射分量 = 入射分量 - 兩個垂直表面的分量。

正式理解，我們直觀來看入射角 $R_{in}$ 應該要減去兩個垂直於法向量 $N$ 的 $R_{in}$ 垂直分量。直觀來看就是 $R_{in}$ 加上兩個 $\left| -R_{in} \right| \cos{\theta} \times \frac{N}{\left|N\right|}$，而 $-R_{in}$ 代表反的入射角，因為要跟垂直分量算夾角，必須要兩向量都從頭個原點出發才行。那為何是 $\left| -R_{in} \right|$ 呢?因為透過三角形的畢氏定理，就可以換算成在該垂直分量上的長度多少，之後再轉回向量，也就是要乘上 $N$ 的單位向量 $\frac{N}{\left|N\right|}$，就可以得知在該方向上的分量是多少，這裡運用到投影向量的技巧，需要自行去熟悉一下。

來認真的推看看:
原式:
$R_{in} + 2 \times \left| -R_{in} \right| \cos{\theta} \times \frac{N}{\left|N\right|}$

化簡多餘的部分(對了N固定是單位向量，也就是長度為1):
$R_{in} + 2 \times \left| -R_{in} \right| \cos{\theta} \times N$

由於 $-R_{in} \cdot N = \left| -R_{in} \right| \left| N \right| \cos{\theta}$

又可以是 $-R_{in} \cdot N = \left| -R_{in} \right| \cos{\theta}$

因此化簡為:
$R_{in} + 2 \times -R_{in} \cdot N * N$

負號提出來:
$R_{in} - 2 \times R_{in} \cdot N * N$

最後將上方的原式拿來比較:
$R_{reflect} = R_{in} - (2N \cdot R_{in} )N = R_{in} - 2 \times R_{in} \cdot N \times N$

得證相等，與理解的無誤。

折射

折射的部分，Dowen也尚未理解，公式牽涉較深物理，理論是說，入射方介質 $ \eta $ 小於折射方介質$ \eta $ ，那折射方就會偏向法向量，反之就會偏離，不是物理學者，我想知道概念足矣。
$$\begin{gather} k = 1 - \eta^2(1 - (N \cdot R)^2) \\ R_{refract} = \begin{cases} 0.0 & \text{if $k < 0.0 $} \\[2ex] \eta R - (\eta (N \cdot R) + \sqrt{k})N & \text{if $k \ge 0.0$} \end{cases} \end{gather}$$

矩陣

說到矩陣，以前完全想不透為何經過矩陣轉換，得到的東西是一個有意義的東西。某日深研後，發現矩陣是由方程式的演變而來的，聽起來很理所當然，不過當題目做多了，反思一下卻忘了本源是什麼，就有點慌慌的。接下來就用方程式與矩陣一起說明，不直接用矩陣說明的方式來教學。至於矩陣的乘法，在這裡就不贅述，矩陣只是一種方程式變相的工具使用而已，如果有疑慮請詳閱專業數學相關網站。

位移

假設一物體位於三維空間中 $p_{old} (x, y, z)$ 點上，那要移動至 $p_{new} (x + 2 ,y + 3 ,z-5)$ 的點在方程式上該如何表示呢?
$$p_{old} (x_{old}, y_{old}, z_{old}) , \\ p_{new} (x_{new}, y_{new}, z_{new}) , \\ x_{new} = x_{old} + 2 \\ y_{new} = y_{old} + 3 \\ z_{new} = z_{old} - 5$$
位移在方程式上算是比較特殊的轉法，一般我們矩陣是3x1(新座標) = 3x3 * 3x1(原座標)。但是可以發現相乘後，只會縮放各個x, y, z的座標後相加。
$$\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{old}\\ y_{old}\\ z_{old}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \cdot x_{old} + b_1 \cdot y_{old} + c_1 \cdot z_{old}\\ a_2 \cdot x_{old} + b_2 \cdot y_{old} + c_2 \cdot z_{old}\\ a_3 \cdot x_{old} + b_3 \cdot y_{old} + c_3 \cdot z_{old}\\ \end{bmatrix}$$
在這裡加上一個四維座標空間的概念，圖學中常常使用到，但實際上仍是三維的一個輔助法。
$$\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & w_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & w_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & w_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & w_4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{old}\\ y_{old}\\ z_{old}\\ w_{old}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \cdot x_{old} + b_1 \cdot y_{old} + c_1 \cdot z_{old} + w_1 \cdot w_{old} \\ a_2 \cdot x_{old} + b_2 \cdot y_{old} + c_2 \cdot z_{old} + w_2 \cdot w_{old} \\ a_3 \cdot x_{old} + b_3 \cdot y_{old} + c_3 \cdot z_{old} + w_3 \cdot w_{old} \\ a_4 \cdot x_{old} + b_4 \cdot y_{old} + c_4 \cdot z_{old} + w_4 \cdot w_{old} \\ \end{bmatrix}$$
擴充成四維空間後，這樣看起來沒什麼意義。但是當在不必要的地方填入0，還有必要的地方填入1後，就會變以下這樣。
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & w_1 \\ 0 & 1 & 0 & w_2 \\ 0 & 0 & 1 & w_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{old}\\ y_{old}\\ z_{old}\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot x_{old} + 0 \cdot y_{old} + 0 \cdot z_{old} + w_1 \cdot 1 \\ 0 \cdot x_{old} + 1 \cdot y_{old} + 0 \cdot z_{old} + w_2 \cdot 1 \\ 0 \cdot x_{old} + 0 \cdot y_{old} + 1 \cdot z_{old} + w_3 \cdot 1 \\ 0 \cdot x_{old} + 0 \cdot y_{old} + 0 \cdot z_{old} + 1 \cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{old} + w_1\\ y_{old} + w_2\\ z_{old} + w_3\\ 1\\ \end{bmatrix}$$
這樣子就變成一個位移專用的矩陣，仍然不會用到我們擴充的第四維，但是又可以輔助三維空間的位移。

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{old}\\ y_{old}\\ z_{old}\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot x_{old} + 0 \cdot y_{old} + 0 \cdot z_{old} + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot x_{old} + 1 \cdot y_{old} + 0 \cdot z_{old} + 3 \cdot 1 \\ 0 \cdot x_{old} + 0 \cdot y_{old} + 1 \cdot z_{old} - 5 \cdot 1 \\ 0 \cdot x_{old} + 0 \cdot y_{old} + 0 \cdot z_{old} + 1 \cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{old} + 2\\ y_{old} + 3\\ z_{old} - 5\\ 1\\ \end{bmatrix}$$

以上就是位移矩陣的由來。在定位一個物體在世界座標中哪個位置時常使用。

旋轉

旋轉矩陣我在這篇文章中有寫過，因此把結果提出來，讓我們知道方程式與矩陣的關係。
原本的方程式如下:
$$x_{new} = x_{old} \cos \theta - y_{old} \sin \theta \\ y_{new} = x_{old} \sin \theta + y_{old} \cos \theta \\$$
換成矩陣後:
$$\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{old}\\ y_{old}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{old} \cos{\theta} - y_{old} \sin{\theta} \\ x_{old} \sin{\theta} + y_{old} \cos{\theta} \\ \end{bmatrix}$$

如果要放到3D世界來使用，有兩點要思考。

這樣的旋轉在3D世界中是屬於依照X還是Y還是Z呢? Ans: Z
要位移怎麼辦?只能是XYZ軸嗎?
這篇文章介紹每個大概，只介紹依照XYZ軸的旋轉，如果是依照任意軸，或更勝之是四元數，這些較適合以後開文章討論，或是請讀者至參考連結去閱讀，如果有問題可以提出來討論，Dowen在寫這篇文章的時候都已閱讀完畢。

歐拉角
以旋轉矩陣來進行旋轉的集合統稱為歐拉角，順序有先XYZ, ZYX ,YZX, XZY…各種組合。如果是以世界座標的XYZ旋轉，不會產生問題。但是如果以物體座標的話，就會產生意想不到的問題。怎麼說呢? 拿起手機，螢幕對著自己，當作Z軸指向自己，上方當作Y軸，右方當作X軸。那如果以ZXY的矩陣來旋轉會產生什麼問題呢?首先以Z轉任意角度，X轉90度，之後Y的選轉軸，與Z就重合了。有人會想物體的Z也在變阿? 實際上，電腦藉由矩陣運算的時候，轉完Z之後，轉了X後，Z已經不會有任何改變，因為那是之前轉完的。而X轉了90度後，Y剛好與原Z軸重合，導致Y與Z軸只能轉一樣的方向。這就是所謂的萬向鎖(Gimbal Lock)

先擴充成以Z軸的三維旋轉
$$\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$

以上讀者可以以之前的方式自行證明。接下來要擴充成四維空間，原因是之前說過的，為了位移的技巧。
$$\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$
順便列出剩下兩個以x與y的旋轉。

以Y軸旋轉
$$\begin{bmatrix} \cos{\beta} & 0 & \sin{\beta} & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin{\beta} & 0 & \cos{\beta} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$

以X軸旋轉
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos{\alpha} & -sin{\alpha} & 0\\ 0 & \sin{\alpha} & cos{\alpha} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$

順便一提，如果自己推出的矩陣與上不符，不一定是錯的，只是在圖學中，上方是符合右手定則，逆時針旋轉，以Z軸旋轉來說，就是Z不變, X軸朝向Y軸移動形成看起來逆時針的旋轉。(圖學中Z軸永遠指向螢幕外，也就是指向自己)

縮放

縮放其實很簡單，不論你原本的點是在負向的部分還是正向，經由縮放後，會靠近0，或者遠離0，矩陣如下。
$$\begin{bmatrix} x_{old}\\ y_{old}\\ z_{old}\\ 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & S_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & S_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_x x_{old}\\ S_y y_{old}\\ S_z z_{old}\\ 1\\ \end{bmatrix}$$

攝影機

一台攝影機，有拍攝角度跟攝影機的座標位置。這邊就先從簡單的攝影機位置在視覺座標中，與View矩陣到底有什麼關係說起。開始前先說明，畫面是從投影矩陣過後在xyz為-1 ~ 1之間的影像，所以移動到攝影機前這個動作，可能會聯想到，那原本的攝影機在哪? 為何要移動攝影機? 其實預設是有一個假攝影機，他會將那些頂點位於-1 ~ 1之間的描繪出來，所以之前的文章才可以顯示出三角形，而這裡是要給讀者知道，要自訂一台攝影機所需要的知識。

攝影機的位置

假設一攝影機位於$(1,2,3)$的三維空間中，那若要以該攝影機為視覺出發點該如何做呢? 簡單來說，就是朝向$(-1,-2,-3)$位移就好了，這裡的疑點應該是，攝影機都在$(1,2,3)$了，為何還要移動$(-1,-2,-3)$呢?原因是假定的這台攝影機，實際上也不存在，所有的視野都只會看到位於$(-1,-1,-1)$到$(1,1,1)$這個正方體(或稱為Normalize Device Coordination)中，也因此正中心是在$(0,0,0)$，也就是說要假裝正中心在$(1,2,3)$的話，那就是這世界的每個物體都要往反方向的$(1,2,3)$移動，也就是$(-1,-2,-3)$。舉個實際的例子，當一台攝影機往右邊平移拍攝的時候，攝影機假設沒再動，那也就是拍攝的物體往左方移動了，讓你誤以為往右平移拍攝，上面的原理就是如此，以為攝影機從原點$(0,0,0)$跑到$(1,2,3)$，實際上是所有物體從世界座標的$(x,y,z)$變成$(x-1,y-2,z-3)$，產生攝影機在動的錯覺。對了，不管哪個矩陣都是對每個物體的世界座標做相乘，而不是對攝影機這個抽象物體。
而攝影機關於位置的位移矩陣如下:
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -Camera_x \\ 0 & 1 & 0 & -Camera_y \\ 0 & 0 & 1 & -Camera_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

攝影機的拍攝角度

攝影機的拍攝角度，基本上是由三個向量所定義而成的，攝影機的前方$\vec{C}_f$，攝影機的上方$\vec{C}_u$，攝影機的右方$\vec{C}_r$，有了這三個方向的向量，就可以知道，要怎麼旋轉，不過與其說是旋轉，不如說是座標轉換，將原本軸是$(1,0,0)$,$(0,1,0)$,$(0,0,1)$的三個互相垂直的向量，轉換成以$\vec{C}_r$, $\vec{C}_u$, $\vec{C}_f$為xyz軸的空間。
首先要先了解原座標空間在矩陣上是如何表示。
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{old}\\ y_{old}\\ z_{old}\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{old}\\ y_{old}\\ z_{old}\\ 1\\ \end{bmatrix}$$
上方斜對角為一的稱為單位矩陣，撇去名詞，就是一個塞了XYZ三軸單位向量的矩陣，且多了一個不會用到的擴充四維。那麼在攝影機座標空間中是如何看待原座標空間中的點呢? 關係如下:
$$\begin{bmatrix} C_r.x & C_r.y & C_r.z & 0\\ C_u.x & C_u.y & C_u.z & 0\\ C_f.x & C_f.y & C_f.z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{old}\\ y_{old}\\ z_{old}\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_r.x \cdot x_{old} + C_r.y \cdot y_{old} + C_r.z \cdot z_{old} \\ C_u.x \cdot x_{old} + C_u.y \cdot y_{old} + C_u.z \cdot z_{old} \\ C_f.x \cdot x_{old} + C_f.y \cdot y_{old} + C_f.z \cdot z_{old} \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$
而換算矩陣就是$\vec{C}_r$, $\vec{C}_u$, $\vec{C}_f$所構成的。也就是說如果此時你要在X軸移動一單位，需要$(C_r.x, C_r.y, C_r.z)$個單位才能在畫面上向右移動一格，忘了提到，這裡所使用到的攝影機向量都是單位向量。

而如果要使用攝影機的話，文末提供的GLM有一個名為LookAt(cameraPositon, target, cameraUp)，這個原理就是上方所講的，只是這裡的三個參數，就可以產生出三個向量，像是$\vec{C}_f$ 只要利用 target - cameraPositon之後Normalize就可以達成，而$\vec{C}_u$就是cameraUp，最後的$\vec{C}_r$只要利用$\vec{C}_u \times \vec{C}_f$就可以得到最後的向量了，這裡外積的順序是yz相乘得x，如果是zy就會是-x，若無法理解請拿原本的$(0,1,0) \times (0,0,1)$來做測試。

而要操縱攝影機則要了解攝影機旋轉的概念，主要有三種旋轉方式。一個是Pitch，抬頭與低頭的概念。一個是Yaw，左轉與右轉的概念。一個是Roll，趴睡的時候，你的頭就會轉這種以鼻子為軸的方式旋轉。而概念圖如下:

在座標系統上的概念如下:

Pitch

Yaw

Pitch(抬頭)，即是向量往Y軸移動，若假設向量長度為r，那XYZ三者與Pitch夾角$\theta$關係如下:
$$\begin{align} y& = r\sin{\theta}\\ x& = r\cos{\theta} \cdot \cos{plane}\\ z& = r\cos{\theta} \cdot \sin{plane}\\ \end{align}$$
其中 plane 代表的是原本X,Z在平面上的分量，而且是常數。不過如果加入Yaw(回頭)的話，就可以改變這個情況，如上圖所示，Yaw代表的是X朝向Z的旋轉關係，所以只要把 plane 改為 $ \alpha $ 就可以完成Pitch與Yaw的攝影機。
$$\begin{align} y& = r\sin{\theta}\\ x& = r\cos{\theta} \cdot \cos{\alpha}\\ z& = r\cos{\theta} \cdot \sin{\alpha}\\ \end{align}$$
至於Roll這個旋轉，較少出現在攝影機的移動中，不管遊戲還是編輯器中，所使用的攝影機多半是Pitch與Yaw的組合，也因此這裡不會有萬向鎖的問題。不過這裡要注意的是這裡的Yaw跟Pitch與歐拉角中的旋轉不相等，因為本文中的Pitch一次就動到了xyz三點的值，算是一種對任意軸的旋轉，而之前所介紹的旋轉公式是對固定軸，

透視投影與正交投影

透視投影近物

透視投影遠物

正交投影近物

正交投影遠物

回顧一下之前看到的兩張圖，透視投影接近現實，越遠的物體就會越小。正交投影屬於理想向量世界，不管物體遠近，都會顯示他原本定義的大小。而不管透視或正交假想上都有一個遠盤(far plane)，跟一個近盤(near plane)，在兩盤之間的物體就會出現在畫面上，超出兩盤的都無法看見。

而這個階段的目的是為了將View階段的$x_{view},y_{view},z_{view},1$，轉換到Projection階段的$x_{clip},y_{clip},z_{clip},w_{clip}$，順道一提，clip space也可以稱為projection space。概念公式如下:
$$\begin{pmatrix} x_{ndc} \\ y_{ndc} \\ z_{ndc} \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x_{clip}}{w_{clip}} \\ \frac{y_{clip}}{w_{clip}} \\ \frac{z_{clip}}{w_{clip}} \\ \frac{w_{clip}}{w_{clip}} \\ \end{pmatrix}$$
算出Clip space後，交給OpenGL會自動用透視除法(perspective devision)，來轉成NDC空間的座標，而上方除以$w$的概念就是透視除法，也是齊次座標中所使用到的概念，因為$w_{clip}$，其實是view space的$z_{view}$。

###透視投影###
先從困難的透視投影講起，之後正交就簡單了，在這個階段主要有四個步驟，當然化為程式都是一個數學式，不過要理解透視投影的每個步驟就要一步一步分開詳細探討。

第一步:X的線性投影

從上方看透視投影區

從側邊看透視投影區

上圖中，e代表的是View Space中的座標，p代表projection座標，要注意的是，這並不是clip space，就是說這個階段是投影座標。
這個階段要產出的線性轉換如下:
$$\begin{align} x_p& : x_e = -n : ze \\ x_p& = -n\frac{x_e}{z_e} = \frac{n x_e}{-z_e} \\ y_p& : y_e = -n : ze \\ y_p& = -n\frac{y_e}{z_e} = \frac{n y_e}{-z_e} \\ \end{align}$$

第二步:壓縮至-1 ~ 1

為何要壓縮至-1 ~ 1呢?這不是clip space到NDC空間才要由OpenGL轉換的嗎? 沒錯，不過投影階段直接就運算到最終的空間NDC，最後用了齊次座標的技巧，才讓NDC變回clip空間，接下來可以這技巧是如何變的，不過為什麼不直接給NDC給OpenGL，要換成clip space，個人臆測是因為OpenGL對深度有一個叫做Depth test或Stencil test的部分會用到。

首先將投影座標與Normalize後座標(NDC)的關係找出來:

上方轉換成數學關係式如下:
$$\begin{align} x_n& = a x_p + b\\ x_p& = r, x_n = 1 \\ 1& = ar + b\\ x_p& = l, x_n = -1\\ -1& = al + b\\ a& = \frac{1-(-1)}{r-l} , b = \frac{l+r}{l-r} \\ x_n& = \frac{2}{r-l}x_p + \frac{l+r}{l-r}\\ \end{align}$$

側視圖的公式大同小異:
$$\begin{align} y_n& = a y_p + c\\ y_p& = t, y_n = 1 \\ 1& = ar + c\\ t_p& = l, t_n = -1\\ -1& = ab + c\\ a& = \frac{1-(-1)}{t-b} , c = \frac{b+t}{b-t} \\ y_n& = \frac{2}{t-b}x_p + \frac{b+t}{b-t}\\ \end{align}$$

第三步:第一步代入第二步

到這個步驟是view -> proj -> ndc -> clip，第一步找出view -> proj的關係，第二步找出proj -> ndc的關係，這裡當然就是要找出ndc -> clip的關係，以view表示，畢竟要將view轉到clip。那就直接進入數學式吧。
$$\bbox[5px,border:2px solid black] { \begin{equation} \begin{split} x_n =& \frac{2}{r-l}x_p + \frac{l+r}{l-r} & x_p = \frac{n x_e}{-z_e}\\ =& \frac{2}{r-l}x_p - \frac{l+r}{r-l} = \frac{2 \cdot \frac{n x_e}{-z_e} }{r-l} - \frac{l+r}{r-l}\\ =& \frac{2 n x_e}{(r-l)(-z_e)} - \frac{l+r}{r-l} = \frac{\frac{2n}{r-l} \cdot x_e}{-z_e} - \frac{l+r}{r-l}\\ =& \frac{\frac{2n}{r-l} \cdot x_e}{-z_e} + \frac{\frac{l+r}{r-l} \cdot z_e}{-z_e} = \frac{ \frac{2n}{r-l}\cdot x_e + \frac{l+r}{r-l} \cdot z_e }{-z_e}\\ =& \frac{x_c}{-z_e} & x_c = \frac{2n}{r-l}\cdot x_e + \frac{l+r}{r-l} \cdot z_e \\ \end{split} \end{equation} }$$
根據以上的NDC與View之間的關係，得到一個新的Clip座標$x_c$，有發現為什麼$-z$會被留在那嗎? 那就是將齊次座標的概念留下，不過只看一個還看不出來，當每個座標都需要$-z$的輔助後，就會理解這樣的用意。不過還是要強調，這個步驟是將NDC的概念退回Clip的步驟，比較不是偏數學的概念，算是程式技巧才有Clip Space的存在。而y的方面就如同上方，讀者可以自行推導，直接進入下一步。

第四步:建立矩陣與填補矩陣未知部分

$$\begin{bmatrix} x_c \\ y_c \\ z_c \\ w_c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & -\frac{r+l}{r-l} & 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0\\ 0 & 0 & A & B\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e\\ \end{bmatrix}$$

首先前兩行(row)，就是我們第三步所推導的，而第四行只有一個$-1$，是因為已經決定讓$-z_e$，當作最後要做透視除法的參數，也許可以等第三行推完之後，參考本節一開始所說的概念公式，來理解這段。而第三行前兩個值是$0$，因為透視投影主要是將投影空間中依照深度距離不同位置的$x$,$y$，投影到近盤上，既然其他人都依賴$z_e$，$z_e$也就不會依賴回去。因此只剩下兩個未知參數需要處理，而View Space中$w_e$是$1$，因此B成為輔助參數，讓$z_c$與$z_e$建立線性關係，就變成以下的形式。
$z_c = Az_e + B$
而要轉換回可以逆推導的情形，必須轉回NDC，因為clip space本身並沒有實質意義，這部分對剛接觸的人會有很多困惑，因為前面都是正向工程，到這裡要推$z_c$卻要用逆向工程，返回$z_n$，在回到$z_c$。
$z_n = \frac{z_c}{w_c} = \frac{Az_e + B}{-z_e} = \frac{A z_e + B}{-z_e}$
其實這段Dowen嘗試過正向推導，不過由於沒有$z_p$與$z_e$的何關係式，所以推不出來。
$$\begin{align} z_n& = \frac{A z_e + B}{-z_e}\\ z_n& = -1, z_e = -n \\ -n& = -An + B\\ z_n& = l, z_e = -f\\ -f& = -Af + B\\ a& = -\frac{f+n}{f-n} , b = -\frac{2fn}{f-n} \\ z_n& = \frac{ -\frac{f+n}{f-n}z_e-\frac{2fn}{f-n} }{-z_e}\\ \end{align}$$

回到矩陣的形式如下:
$$\begin{bmatrix} x_c \\ y_c \\ z_c \\ w_c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & -\frac{r+l}{r-l} & 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0\\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n}& -\frac{2fn}{f-n}\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e\\ \end{bmatrix}$$

以上是最終矩陣，將View轉成Clip空間，而通常不會使用以上的矩陣。我們通常使用的是正方形近盤，所以將$t = r = -l = -b$，矩陣會變換如下:
$$\begin{bmatrix} \frac{n}{r} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{n}{r} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n}& -\frac{2fn}{f-n}\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e\\ \end{bmatrix}$$
接下來檢視一下OpenGL會用到的GLM函式glm::perspective(fov, aspect, near, far)。其矩陣原理如下:

$$\begin{bmatrix} X_{spec} & 0 & 0 & 0\\ 0 & Y_{spec} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n}& -\frac{2fn}{f-n}\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{align} Y_{spec}& = \cot({fov/2}) \\ X_{spec}& = \frac{Y_{spec}}{aspect} \end{align}$$

fov: field of view，視野的意思，通常視野是$45°$，根據自定義而有所不同，至於為何是$cot$，看一下上上個矩陣，對邊分之鄰邊，而且視野只有一半。
aspect: 視窗的比例，若視窗是500x500 這裡只要給1.0即可，若是800x600這裡就要給定800/600，在畫面就會顯示正常，原因是整個畫面要顯示-1 ~ 1的正方體，那x的部分就得多壓縮一點。

正交投影

正交投影，直接將點平行投影到投影近盤上，所以不會有$x_p$與$x_e$不同的問題，直接做線性轉換至NDC。
$$\begin{align} x_n& = \frac{2}{r-l}x_e - \frac{r+l}{r-l}\\ y_n& = \frac{2}{t-b}y_e - \frac{t+b}{t-b}\\ z_n& = \frac{-2}{f-n}z_e - \frac{f+n}{f-n}\\ \end{align}$$
由於$x_e$與 $x_n$ 沒有像透視投影跟深度有關，所以矩正很簡單的如下:
$$\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & -\frac{r+l}{r-l} & 0\\ 0 & \frac{2}{t-b} & -\frac{t+b}{t-b} & 0\\ 0 & 0 & -\frac{2}{f-n}& -\frac{f+n}{f-n}\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \\ \end{bmatrix}$$

直線與曲線

直線

直線，最常想到的第一個公式是 $ y = ax + b $ ，但是利用向量表示，在電腦繪圖中反而會比較適合做Intepolation。向量表示如下:
$$\begin{align} P& = A + t\vec{D} \\ \vec{D}& = (B - A) \\ P& = A + t(B-A) \\ \end{align}$$
上方的公式意義是表示A要往B移動，如果t = 1，表示點P已經從A移動到B。小於1的任何數值都代表還在路途中，這樣的表示法比原本的表示法的移動模式要直觀許多。

Intepolation(內插)
根據現有的資訊進行階段式前進，除了有關線的公式，利用向量步步前進的概念外，OpenGL在顏色上也有這樣的機制。Fragment Shader階段時，若使用者定義三個點各自的顏色，未給定其他像素的意義，OpenGL就會進行顏色的內插。假設有AB兩點，一者紅，一者藍，OpenGL就會自動用內插的方式進行顏色計算，概念如此: $Color_{new} = Color_A + t(Color_B - Color_A) = (1-t)Color_A + tColor_B$。而GLSL語法裡面進行這樣計算的是一個叫mix(a, b, t)的內建函式，專門用來處理以上的動作。

曲線

最簡單的直線是利用兩條直線的方式混和移動而成，概念圖如下:

$$\begin{align} D& = A + t(B-A) \\ E& = B + t(C-B) \\ P& = D + t(E-D) \\ P& = A + t(B-A) + t( B+t(C-B) - (A+t(B-A)) ) \\ P& = A + t(B-A) + Bt+t^2(C-B) - At - t^2(B-A)) \\ P& = A + t(B-A + B-A) + t^2(C-B-B-A) \\ P& = A + 2t(B-A) + t^2(C-2B-A) \\ \end{align}$$

透過兩條線瞬間產生出來的點，在將這兩點做直線移動就是以上的概念，當初Dowen看了許久，到這網站才了解到為何可以這樣混合公式的最初契機。這邊小題外話，有時候數學無法理解，是因為很多網站都沒提到其細部概念，也就是最初觀察到此現象的由來或契機，只說這樣是對的，然後用一堆複雜的數學佐證，所以才導致學習有礙。

剛剛其實就是有名的貝茲曲線，而這裡是介紹三次貝茲曲線，如果看懂的話，不論幾次也能自己推導了。

$$\begin{align} E& = A + t(B-A) \\ F& = B + t(C-B) \\ G& = C + t(D-C) \\ H& = E + t(F-E) \\ I& = F + t(G-F) \\ P& = H + t(I-H) \\ \end{align}$$

二次懂，三次問題就不大。這裡就提一個貝茲曲線上的專有名詞Control Point，像是上方二次貝茲的控制點就是ABC，三次是ABCD，藉由更改這些點的位置，就可以改變曲線角度，理解控制點，就可以微調算出想要的曲線角度了。

GLM

GLM(OpenGL Mathematics)，是一個專門為OpenGL設計的數學函式庫，特別的是，它只需要將標頭檔加入，不需要引入lib，或是dll之類的組態檔，就可以引入環境中，所以不會有環境建置的困擾，首先只需要將標頭檔資料夾放到適當的位置，之後加入Include，就完成基本的載入。

之後加入泛用的程式標頭。

1
2
3

#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtc/matrix_transform.hpp>
#include <glm/gtc/type_ptr.hpp>

測試一下矩陣乘法，理解一下概念。

glm::mat4 helloMatrix = glm::mat4(glm::vec4(1.0), glm::vec4(2.0), glm::vec4(3.0), glm::vec4(4.0));
int mlenght = 16;
glm::vec4 helloVector = glm::vec4(1.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f);
int vlenght = helloVector.length();
float *matrix = glm::value_ptr(helloMatrix);
float *vector = glm::value_ptr(helloVector);
glm::vec4 vresult = helloMatrix * helloVector;
float *result = glm::value_ptr(vresult);

std::cout << "Matrix:" << std::endl;
for (int i = 0; i < mlenght; i++)
{
	std::cout << matrix[i] << ",";
	if((i+1)%4 == 0)
		std::cout << std::endl;
}
std::cout << std::endl;
std::cout << "Vector:" << std::endl;
for (int i = 0; i < vlenght; i++)
{
	std::cout << vector[i] << ",";
	if (i % 4 == 0 && i != 0)
		std::cout << std::endl;
}
std::cout << std::endl;
std::cout << "Result:" << std::endl;
for (int i = 0; i < vlenght; i++)
{
	std::cout << result[i] << ",";
	if (i % 4 == 0 && i != 0)
		std::cout << std::endl;
}

這會產生的結果如下:

有發現結果不是正常的矩陣運算嗎?因為OpenGL在定義矩陣的時候都是先定義Column，再來才是Row，用數學來檢視一下結果的原因吧。
$$\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 2&2&2&2 \\ 3&3&3&3 \\ 4&4&4&4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 \\ \end{bmatrix}$$
上面如果是想要的結果，但實際上定義的向量是這樣被矩陣擺放的:
$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4 \\ 1&2&3&4 \\ 1&2&3&4 \\ 1&2&3&4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \\ 4 \\ \end{bmatrix}$$
因此，如果要修正的話必須要改成如下形式:

//glm::mat4 helloMatrix = glm::mat4(glm::vec4(1.0), glm::vec4(2.0), glm::vec4(3.0), glm::vec4(4.0));
glm::mat4 helloMatrix = glm::mat4(glm::vec4(1.0,2.0,3.0,4.0), glm::vec4(1.0, 2.0, 3.0, 4.0),

這樣結果就修改完成了。

而glm::value_ptr這個函式，原始的定義是根據傳入GLM的參數，根據其最原始型態傳回該參數的指標。而本範例是傳入GLM矩陣、向量，使其傳回浮點數指標，或說是一段float陣列。

其他

四元數

不同的曲線

攝影機加入Roll旋轉

結語

在研究OpenGL上面會碰到很多數學，但是如果找對適當的文章或是解釋，就能打通那任督二脈。而Dowen就是那種需要自己尋找能理解的文章的人。因為有些網站，或是學校的教學方式，就是教學者自己沒咀嚼好，就抽象地教給學習者，所以導致教者不知學者所礙，中間有代溝。Dowen寫的教學文主要是想解決這樣的代溝，所以努力地做圖跟以自己曾經的困惑，自問自答的方式來幫助有同樣困惑的讀者。不過比較差的是以藍寶書的章節為出文的篇幅，如果以後有足夠的經驗與時間，也許會重新製作一份真正的初心者教學吧!

開始前介紹

向量

何謂向量

基本性質

長度

單位向量

內積

外積

反射與折射

反射

折射

矩陣

位移

旋轉

歐拉角

縮放

相關座標空間

笛卡爾座標

齊次座標

物體座標

世界座標

視覺座標

投影座標

攝影機